6.1 Pourquoi faut-il actualiser ?

Nous commençons par le cas simple d’un projet qui s’étend pendant une période. Le plus souvent dans les ACA, une période correspond à une année. Imaginons donc un projet qui nécessite un investissement de 1 million de dollars aujourd’hui à t = 0, mais qui rapportera un avantage de 1,07 million de dollars dans un an, soit à t = 1. L’année de référence de l’ACA de ce projet est t = 0. La Figure 6.1 illustre le déroulement temporel du projet.

Comme nous l’avons expliqué au chapitre 1, ce projet doit être évalué par rapport à un scénario de référence. Il faut donc se questionner sur le meilleur usage alternatif du montant de 1 million de dollars du projet. Nous l’avons indiqué dans la section précédente, le montant pourrait être investi dans un autre projet ou servir à la consommation actuelle. Plutôt que d’essayer de déterminer précisément le meilleur usage alternatif de ce montant, il suffit d’établir le taux de rendement social espéré si les fonds étaient investis autrement. Ce taux correspond au taux d’actualisation social, représenté par la lettre s.

Dans notre exemple, supposons que s = 5 %, soit 0,05. Le scénario de référence suppose alors que le million de dollars rapportera un avantage de 1,05 million de dollars à t = 1, s’il est utilisé dans un autre projet. Il s’agit d’une application de la formule du calcul des intérêts :

V₁ = V₀ x (1 + s)

dans laquelle V₁ représente la valeur future à t=1 et V₀ la valeur actuelle ou valeur présente à t=0.

Le Tableau 6.1 illustre les coûts et les avantages du scénario de référence et du scénario avec projet. Nous utilisons ici le format de présentation dans lequel on compare côte à côte les deux options.

Le coût initial est identique dans les deux scénarios, cependant, le projet offre un avantage supplémentaire de 0,2 million de dollars à t=1. Le Tableau 2 présente les résultats différemment, afin de faire ressortir le coût de renonciation du projet, soit l’avantage de 1,05 million de dollars auquel on renonce et qui est déterminé par le taux d’actualisation social.

Notons que dans la Tableau 6.2, toutes les valeurs sont exprimées en valeur future, soit à t = 1. Dans l’ACA, les résultats sont exprimés en valeur actuelle, soit à t = 0. Pour y parvenir, il suffit d’inverser la formule précédente :

[latex]V_0 = \frac{V_1}{1+s}[/latex]

Le Tableau 6.3 applique cette formule aux valeurs contenues dans le Tableau 6.2. Évidemment, le coût de renonciation exprimé à t = 0 n’est rien d’autre que le coût initial du projet. Les avantages actualisés sont de 1,019 million de dollars, de sorte que la VAN est égale à 0,019 million de dollars, ce qui correspond à la valeur actualisée de la valeur futur nette, soit 0,02/(1 + 0,05) = 0,019 million de dollars.

En résumé :

Les formules peuvent se généraliser à plusieurs périodes. Il faut ici tenir compte du fait que les intérêts sont composés : les intérêts accumulés génèrent à leur tour des intérêts. Ainsi une somme V₀ placée pendant N années à un taux de s %, vaudra à t = N :

[latex]V_N = V_0 \times \left(1+s\right)^N[/latex]

En inversant cette formule, nous obtenons la valeur actuelle (V₀) d’un montant perçu dans N période (V_N) en supposant un taux d’actualisation s.

[latex]V_0 = \frac{V_N}{\left(1+s\right)^N}[/latex]

Cette formule peut s’appliquer à un avantage ou à un coût futur. Ainsi, la VAN d’un projet ayant un horizon temporel de N périodes se détermine par la formule suivante :

[latex]VAN = \frac{A_0}{\left(1+s\right)^0} + \frac{A_1}{\left(1+s\right)^1} + \dots + \frac{A_N}{\left(1+s\right)^N} - \left( \frac{C_0}{\left(1+s\right)^0} + \frac{C_1}{\left(1+s\right)^1} + \dots + \frac{C_N}{\left(1+s\right)^N}\right)[/latex]

ou sous une forme plus compacte :

[latex]VAN = \sum_{t=0}^N \frac{A_t}{\left(1+s\right)^t} - \sum_{t=0}^N \frac{C_t}{\left(1+s\right)^t} = \sum_{t=0}^N \frac{A_t - C_t}{\left(1+s\right)^t} \quad (6.1)[/latex]

avec [latex]A_t[/latex], l’avantage du projet perçu à la fin de la période t, et [latex]C_t[/latex] le coût du projet payé à la fin de la période t.

La VAN peut se calculer en actualisant séparément les avantages et les coûts ou en calculant pour chaque période l’avantage net, qui est ensuite actualisé. Notons que l’actualisation se fait généralement sur une base annuelle^[2].

Il est important de décrire précisément le déroulement temporel des coûts et des avantages. La formule (6.1) suppose que le projet génère des coûts et des avantages dès le début du projet, soit à t = 0. Le plus souvent cependant, un projet comporte des coûts importants au début, puis des coûts d’exploitation par la suite, alors que les avantages n’apparaissent qu’après un certain nombre de périodes.

Outre le déploiement des avantages et des coûts au cours des années, il faut préciser le moment où les avantages et les coûts se présentent dans une année. Trois situations sont possibles (voir aussi la Figure 6.2) :

1. L’impact (coûts ou avantages) se manifeste à la fin de chaque année. Dans ce cas, [latex]A_{10}[/latex], par exemple, est perçu à la fin de l’année 10, de sorte qu’il doit être actualisé sur 10 années, soit [latex]A_{10}/\left(1+s\right)^{10}[/latex] . C’est l’hypothèse utilisée par la formule (6.1) ;
2. L’impact peut également se produire en début de chaque année. Ainsi, [latex]A_{10}[/latex] est censé être perçu au début de la dixième année, soit après 9 années, ce qui signifie que sa valeur actualisée est [latex]A_{10}/\left(1+s\right)^9[/latex] ;
3. L’impact peut également se produire tout au long d’une année. Si [latex]A_{10}[/latex] est perçu graduellement tout au long de l’année, cela revient à supposer que [latex]A_{10}[/latex] arrive à t = 9,5, c’est-à-dire au milieu de l’année 10. Dans ce cas, sa valeur actualisée serait de [latex]A_{10}/\left(1+s\right)^{9,5}[/latex].
   

   

6.3 Annuité, perpétuité et annualisation

6.3.1 L’annuité

Il est possible que les avantages ou les coûts soient des montants annuels qui ne varient pas avec le temps, de sorte que [latex]A_t = A[/latex] ou [latex]C_t = C[/latex], soit des annuités. La formule (6.1) peut bien entendu être utilisée, mais il existe une formule plus directe. La valeur actualisée d’une annuité A qui se réalise à la fin de chaque période pendant N périodes en utilisant le taux d’actualisation s est donnée par :

[latex]VA \left( A \right) = A \times a_s^N \quad (6.2)[/latex]

avec [latex]a_s^N = \frac{1 - \left(1+s\right)^{-N}}{s}[/latex] le facteur d’annuité.

Si l’annuité est reçue au début de chaque période plutôt qu’à la fin, la valeur actualisée peut être calculée comme suit :

[latex]VA \left( A \right) = A \times a_s^N \times (1 + i)\quad (6.3)[/latex]

Dans le cas où l’annuité est perçue de façon continue tout au long de chaque période, la formule pour déterminer la valeur actualisée devient :

[latex]VA \left( A \right) = A \times a_s^N \times (1 + i)^{0.5}\quad (6.4)[/latex]

Dans certaines circonstances, le montant annuel de l’annuité n’est pas constant, mais il croît (ou décroît) à un taux constant de g %. Par exemple, l’avantage est reçu à la fin de la première période, mais il augmente annuellement de g %, de sorte que le montant reçu à la fin de l’année t est :

[latex]A_t = A_{t-1} \left(1+g\right) = A_{t-2} \left(1+g\right)^2 = \dots = A_1 \left(1+g\right)^{t-1}[/latex]

Dans ce cas, la valeur actualisée peut s’évaluer en utilisant la formule de l’annuité constante, soit (6.2), mais en l’appliquant sur le montant annuel suivant :

[latex]A = \frac{A_1}{1+g}[/latex]

et en utilisant le taux d’intérêt qui suit :

[latex]i = \frac{s-g}{1+g}[/latex]

Précisons qu’il faut que [latex]s>g[/latex] pour que cette procédure soit valide.

Par ailleurs, si g est relativement faible, on peut approximer la valeur actualisée en utilisant la formule (6.2), avec l’annuité et le taux d’intérêt suivants :

[latex]A = A_1[/latex] et [latex]i = s-g[/latex].

6.3.2 La perpétuité

La valeur actualisée d’un montant de 1 000 $ reçu à la fin de chaque année pour toujours à un taux d’actualisation de 5 % est :

[latex]VA = 1000\$ \times a_{5\%}^{\infty} = \frac{1000\$}{0,05} = 20 \ 000\$[/latex]

En effet, le facteur d’actualisation s’étendant sur un horizon infini a une valeur égale à [latex]1/s[/latex]. Cette formule peut être utile pour effectuer une approximation dans des situations pour lesquelles l’horizon temporel est long.

6.3.3 L’annualisation

Dans certaines applications, il peut être nécessaire d’annualiser un coût ou un avantage, c’est-à-dire de le répartir sur une base annuelle pour la durée du projet. Cela peut se faire simplement en inversant la formule (6.2) ; par exemple, un projet exige un investissement initial à t = 0 de 20 000 $ et sa durée de vie est de cinq ans. L’annualisation de ce coût à un taux d’actualisation de 6 % se calcule de la manière suivante :

[latex]A = \frac{20 \ 000\$}{a_{6\%}^5} = 4 \ 747,9\$[/latex]

En d’autres termes, la valeur actualisée de l’annuité de 4 747,9 $ à 6 % est égale à 20 000 $.

6.4 Comparer des projets avec des horizons temporels différents

Il est parfois nécessaire de comparer des projets qui ont des durées différentes. Prenons l’exemple de la lutte contre la propagation d’une maladie contagieuse pour laquelle deux vaccins sont disponibles. Le vaccin 1 coûte 15 $ la dose et procure de l’immunité pendant un an, alors que le vaccin 2 coûte 70 $, mais offre une immunité équivalente pendant 5 ans. Pour simplifier, nous supposons que le coût par dose comprend à la fois le vaccin et son administration. Le choix entre ces deux options peut s’appuyer uniquement sur le coût, puisque l’efficacité des vaccins est la même. En revanche, les horizons temporels diffèrent : le vaccin 1 protège pendant un an, tandis que le vaccin 2 protège pendant 5 ans. Il existe trois méthodes pour comparer des projets ayant des horizons différents.

6.4.1 La méthode de réplication (roll over)

Pour comparer le coût du vaccin 1 pendant la même durée que le vaccin 2, il suffit d’administrer le vaccin 1 chaque année pendant cinq ans, c’est-à-dire de répliquer ce projet à 5 reprises. Cependant, il est important de noter qu’il ne s’agit pas simplement de multiplier par cinq le coût du vaccin 1, car il faut prendre en compte l’actualisation. Par exemple, avec un taux d’actualisation de 5 %, le coût total du vaccin 1 administré à cinq reprises équivaut à :

VA (vaccin 1 administré annuellement pendant 5 ans) = [latex]15\$ \times a_{5\%}^5 = 64,95\$[/latex]

Le vaccin 1 se révèle donc l’option la moins coûteuse.

6.4.2 La méthode par équivalent annuel moyen

Il s’agit de calculer, pour chaque option, l’Équivalent Annuel Moyen (ÉAM), c’est-à-dire d’annualiser la valeur actualisée nette. Dans notre exemple, le coût annuel moyen du vaccin 1 est par définition de 15 $. Pour calculer le coût annuel moyen du vaccin 2, il suffit d’appliquer la formule d’annualisation présentée à la section 6.3.3.

Coût annuel moyen du vaccin 2 = [latex]\frac{70\$}{a_{5\%}5} = 16,16\$[/latex]

Les deux méthodes, bien entendu, aboutissent à la même recommandation.

6.4.3 Inclusion d’une valeur résiduelle dans le projet le plus long

Il est parfois nécessaire de comparer des options pour lesquelles la réplication est peu réaliste. Dans ce cas, on peut calculer la VAN de l’option la plus longue, mais en utilisant l’horizon temporel de l’option la plus courte. C’est donc comme si l’on considérait que l’option la plus longue se termine de manière prématurée. Il faut alors inscrire la valeur résiduelle de ce projet dans les avantages (voir section 5.7 pour plus de détails).

6.5 La prise en compte de l’inflation

L’inflation désigne la hausse générale des prix au fil du temps et la déflation le phénomène inverse. Dans l’analyse coûts‑avantages (ACA), l’objectif consiste à neutraliser l’inflation (ou la déflation). La méthode classique pour éliminer les effets de l’inflation est de travailler avec des séries exprimées en dollars constants ou réels, plutôt qu’en dollars courants ou nominaux. Pour convertir une série nominale en valeur réelle, il est nécessaire de corriger l’effet de l’inflation à l’aide d’un indice des prix. Plusieurs indices de prix existent, mais voici les deux principaux :

1. L’indice des prix à la consommation (IPC) mesure l’évolution des prix d’un panier type de biens et services consommés par les ménages. Pour l’année de base ou de référence, cet indice a une valeur de 100. L’évolution des prix est ainsi exprimée relativement à l’année de base. Par exemple, en 2009, l’IPC (2002 = 100) était de 119,1, ce qui signifie que les prix ont augmenté de 19,1 % entre 2002 et 2009;
2. L’indice des prix du produit intérieur brut (PIB) est plus global que l’IPC, car il reflète l’évolution des prix dans l’ensemble de l’économie, englobant ainsi non seulement les biens et services de consommation, mais également d’autres secteurs.

Le choix de l’indice dépend de la série qu’on souhaite transformer. Pour une série de prix d’un bien de consommation (par exemple, le prix des téléphones cellulaires), il est préférable d’utiliser l’IPC. En revanche, si la série concerne le prix d’un intrant (par exemple, le bois d’œuvre), l’indice des prix du PIB est plus approprié.

La transformation d’une série nominale en série réelle s’effectue assez simplement, comme l’illustre le Tableau 6.4. La ligne (1) représente l’évaluation du prix courant de l’essence dans la Capitale-Nationale. La ligne (2) indique l’évolution de l’IPC à Québec en prenant l’année 2002 comme référence. À partir de ces deux lignes, on peut calculer la ligne (3), qui représente l’évolution des prix réels en dollars de 2002. Pour cela, il suffit de diviser la ligne (1) par la ligne (2) et de multiplier par 100.

Il est possible que l’année de base de l’IPC fournie par les organismes de statistiques officielles ne corresponde pas à l’année de référence souhaitée pour exprimer les valeurs. Cependant, il est facile de changer l’année de base de l’IPC, comme le montre la ligne (4), en appliquant une règle de trois. Cette ligne est obtenue en divisant les valeurs de l’IPC de la ligne (1) par la valeur de l’IPC de la nouvelle année de référence, puis en multipliant par 100. Dans notre exemple, pour exprimer l’IPC en dollars de 2023, on divise donc la ligne (1) par 171,6. À partir de cet indice en dollars de 2023, il est possible de calculer la ligne (5), qui représente le prix réel de l’essence en dollars de 2023.

Ainsi, toutes les séries des valeurs qui sont utilisées dans une ACA (y compris les projections et les prévisions) devraient être exprimées en dollars constants de l’année de référence. Si c’est le cas, l’actualisation s’effectue en utilisant un taux d’actualisation social réel, soit un taux qui exclut l’inflation.

Cependant, il est aussi possible de travailler avec des séries de prévisions exprimées en dollars courants. Dans ce cas, l’actualisation s’effectue avec un taux d’actualisation social nominal qui permet de neutraliser l’inflation.

La différence entre un taux réel et un taux nominal représente l’inflation anticipée sur l’horizon d’analyse. La relation exacte entre ces deux taux est la suivante :

[latex]s^r = \frac{s^n - m}{1+m}[/latex]

avec [latex]s^r[/latex] le taux d’actualisation social réel, [latex]s^n[/latex] le taux d’actualisation social nominal et [latex]m[/latex] le taux anticipé moyen d’inflation au cours de la période d’analyse.

Si [latex]m[/latex] est faible, la relation entre les deux taux peut s’approximer comme suit :

[latex]s^r = s^n - m[/latex]

6.6 La valeur résiduelle

Idéalement, l’horizon d’analyse doit correspondre à la durée de vie du projet. Cependant, pour des infrastructures à longue durée de vie, il peut être difficile d’effectuer des prévisions réalistes à long terme. Par ailleurs, certains projets comprennent plusieurs infrastructures ayant des durées de vie différentes. Ainsi, il arrive que la durée de l’analyse (représentée par T) soit plus courte que la durée de vie du projet (représentée par F). Par exemple, dans l’étude du cas du pont du Saguenay, l’horizon d’analyse est de 40 ans (T = 40), alors que la durée de vie du pont est de 100 ans (F = 100). La Figure 6.3 montre un autre exemple où la durée de vie du projet est de 10 ans et l’horizon d’analyse de 6 ans. L’ACA doit donc inclure la valeur résiduelle du projet pour les 4 années qui ne sont pas explicitement prises en compte dans l’analyse.

La valeur résiduelle constitue souvent un avantage (VR > 0) du projet, puisqu’elle correspond en quelque sorte à sa valeur de revente. Cependant, dans certains cas, la valeur résiduelle peut s’avérer négative (VR < 0) lorsque les coûts en fin de vie excèdent les avantages, comme cela peut être le cas d’une mine dont la qualité des dépôts diminuent avec le temps et qui exige des travaux de décontamination et de restauration des lieux.

La détermination de la valeur résiduelle d’un projet est une tâche délicate, d’autant plus qu’elle peut avoir un impact déterminant sur la VAN d’un projet. Plusieurs techniques d’évaluation sont possibles (voir Boardman et al., 2018).

6.6.1 L’évaluation par extrapolation

Conceptuellement, la VR d’un projet n’est rien d’autre que la valeur actualisée des avantages nets des coûts du projet entre la fin de la période d’analyse (T) et la fin de la durée de vie du projet (F), soit :

[latex]VR_T = \frac{B_{T+1} - C_{T+1}}{\left(1+i\right)^{T+1}} + \frac{B_{T+2} - C_{T+2}}{\left(1+i\right)^{T+2}} + \dots + \frac{B_{T+F} - C_{T+F}}{\left(1+i\right)^{T+F}}[/latex]

Notons que [latex]VR_T[/latex] mesure la valeur résiduelle du projet évaluée à T, de sorte qu’il faut encore l’actualiser pour la ramener en valeur de l’année de référence (voir la Figure 6.4). La valeur résiduelle qui doit être comprise dans l’ACA est donc :

[latex]VR_0 = \frac{VR_T}{\left(1+i\right)^T}[/latex]

Évidemment, si [latex]A_t[/latex] et [latex]C_t[/latex] entre T+1 et F sont connus, le projet peut simplement s’analyser sur la durée de vie du projet. La difficulté provient justement de la complexité d’estimer [latex]A_t[/latex] et [latex]C_t[/latex] entre T+1 et F.

L’extrapolation la plus simple suppose que les avantages et les coûts mesurés à la fin de la période d’analyse resteront constants jusqu’à la fin du projet. Autrement dit,  [latex]A_t = A_T[/latex] et [latex]C_t = C_T[/latex] pour tout t entre T+1 et F. Une autre option consisterait à considérer [latex]A_T[/latex] et [latex]C_T[/latex] comme des annuités qui augmenteront ou diminueront à un taux constant entre T+1 et F. La valeur résiduelle à T se calculerait alors en utilisant les formules présentées à la section 6.3.1. Cette valeur devrait ensuite être actualisée pour être exprimée en valeur de l’année de référence. Bien entendu, l’analyste devra justifier le réalisme et les implications de la technique d’extrapolation choisie.

6.6.2 L’évaluation fondée sur la valeur de revente

En effet, la valeur sur un marché secondaire reflète les avantages nets espérés sur le reste de la vie utile du bien durable. La valeur résiduelle d’un camion, par exemple, peut être estimée par sa valeur de revente à la fin de l’horizon d’analyse T. Cependant, il est essentiel de ne pas oublier d’actualiser cette valeur de revente à T, afin de l’exprimer en dollars de l’année de référence.

6.6.3 L’évaluation fondée sur la dépréciation économique

La dépréciation linéaire est la plus simple et la plus souvent utilisée dans un contexte fiscal. Le taux de dépréciation correspond simplement à l’inverse de la durée de vie de l’actif (1/F). Un ordinateur de 4 000 $ dont la durée de vie utile est de quatre ans aura un taux de dépréciation linéaire de 25 %, de sorte que sa valeur après trois ans sera de (1-3 x 0,25) x 4 000 $ = 1 000 $.

Une autre forme courante est celle de la dépréciation géométrique, dans laquelle l’actif se déprécie à un taux constant^[4]. L’exercice ci-dessous illustre la formule de dépréciation géométrique. D’autres profils de dépréciation sont possibles, comme la dépréciation progressive, qui implique une accélération de la perte de valeur de l’actif avec le temps (par exemple, la dépréciation hyperbolique).

6.6.4 La valeur résiduelle nulle

Si la période d’analyse est longue par rapport à la durée de vie du projet, il peut être justifié d’utiliser une VR nulle. En effet, la VR à la fin de la période d’analyse risque d’être faible, surtout lorsqu’elle est exprimée en dollars de l’année de référence. De plus, cette hypothèse est conservatrice, c’est-à-dire qu’elle penche du côté de la prudence.

Pour terminer, soulignons deux aspects importants :

Ce dernier point est parfaitement illustré par l’encadré ci-dessous concernant le projet de pont du Saguenay.

6.7 Critères et règles de décision

6.7.1 Des décisions basées sur la VAN

La décision de recommander ou non le projet doit se prendre sur base de la VAN. Trois types de décision peuvent appeler à des règles de décisions différentes :

Situation 1 : Réaliser ou non un projet

Situation 2 : Choisir entre des projets mutuellement exclusifs

Par exemple, pour connecter une ville, les autorités envisagent soit un système rapide d’autobus (SRB), un tramway ou un métro. Dans ce type de situation, la règle de décision est la suivante :

Dans notre exemple, si la VAN du SRB est évaluée à 120 millions, celle du tramway à 35 millions et celle du métro de -46 millions, il faut recommander le SRB. Précisons que la VAN de chaque option est toujours évaluée relativement au scénario de référence (p. ex. maintenir le système d’autobus actuel). Dans ce contexte cependant, le coût de renonciation du SRB est le meilleur projet alternatif auquel on renonce, soit le tramway. Ainsi, relativement au tramway, le SRB procure une VAN additionnelle de 85 millions.

Situation 3 : Choisir entre des projets avec une contrainte budgétaire

Dans cette situation, les projets ne sont pas mutuellement exclusifs, mais tous ne peuvent pas être réalisés en raison d’une contrainte budgétaire. Par exemple, le ministère des Transports dispose d’une enveloppe de 3 millions de dollars pour des projets d’amélioration de la sécurité routière. Le Tableau 6.5 montre la valeur actuelle des coûts et des avantages, ainsi que la VAN des quatre interventions. Par ailleurs, une cinquième option consiste à réaliser simultanément les interventions 3 et 4. Ces deux projets présentent des synergies positives de sorte que la somme des avantages de ces projets pris individuellement est inférieure à l’avantage si ces projets sont réalisés conjointement^[5].

Dans ce type de situation, la règle de décision est la suivante :

Dans notre exemple, la combinaison des projets 1 et 3+4 conduit aux avantages nets les plus élevés, s’élevant à 3,2 millions de dollars tout en respectant la contrainte budgétaire. Le coût de ces deux projets est inférieur à 3 millions de dollars. En revanche, les deux autres combinaisons possibles (2+3 et 2+4) présentent des valeurs actuelles nettes moindres.

6.7.2 Le ratio avantage coût

Certaines études présentent les résultats sous forme du ratio avantage coût (A/C), qui est défini comme la valeur actualisée des avantages divisée par la valeur actualisée des coûts. Ce ratio est souvent significatif pour les autorités, par exemple, un ratio avantage coût de 3 permet aux autorités de soutenir que chaque dollar investi rapporte 3 dollars.

Ce ratio peut être utilisé pour déterminer si un projet doit être recommandé ou non. Un ratio supérieur à 1 signifie en effet que le projet génère une VAN positive. En revanche, lorsqu’il s’agit de choisir parmi une liste de projets mutuellement exclusifs ou s’il existe une contrainte budgétaire, l’utilisation du ratio A/C peut mener à des choix erronés.

Pour s’en convaincre, le Tableau 6.6 présente l’évaluation de trois projets mutuellement exclusifs.  C’est le projet 1 qui doit être recommandé puisqu’il génère la VAN positive la plus élevée. Si le ratio A/C est utilisé, c’est le projet 3 qui serait malencontreusement choisi puisque son ratio est le plus élevé. En fait, le ratio A/C ne permet pas de comparer adéquatement des projets qui ont des envergures différentes.

6.7.3 Le critère du taux de rendement interne

Le taux de rendement interne correspond au taux d’actualisation tel que la VAN calculée avec ce taux est nulle. Formellement, le taux de rendement interne [latex]\rho[/latex] s’obtient en résolvant l’équation suivante :

[latex]VAN = \sum_{t=0}^{n} \frac{A_t - C_t}{\left(1 + \rho \right)^t} = 0[/latex]

La règle de décision est alors de recommander le projet si le taux de rendement interne ([latex]\rho[/latex]) est supérieur au taux d’actualisation social (s). Par exemple, un projet coûte 100 millions à t=0 et rapporte à partir de t=1 une perpétuité de 15 millions par an. Le taux d’actualisation social est de 10%. Dans ce cas, [latex]\rho[/latex] s’obtient en résolvant l’équation suivante :

[latex]-100 + \frac{15}{\rho} = 0[/latex]

Le taux de rendement interne est donc de 15%, ce qui est supérieur au taux d’actualisation social de 10%; ce projet doit être recommandé. La VAN de ce projet s’élève à 50 millions.

Le taux de rendement interne est un indicateur qui est souvent utilisé dans l’évaluation de la rentabilité d’investissement privé. Il présente cependant plusieurs limites :

1. Sauf cas particulier, la détermination de [latex]\rho[/latex] exige la résolution d’équations non-linéaires avec des solutions multiples, ce qui pose le défi de sélectionner le bon taux;
2. Tout comme avec le critère du ratio A/C, choisir une option en se basant uniquement sur le taux de rendement interne le plus élevé ne permet pas de maximiser la VAN dans le cas de projets mutuellement exclusifs ou lorsqu’il y a une contrainte budgétaire (voir l’exercice 3 pour un exemple).

6.8 Le seuil de rentabilité ou le point mort

Il est souvent plus facile de recueillir des informations sur les coûts associés à un projet que sur ses avantages. Dans de tels cas, une méthode simple et efficace consiste à déterminer un seuil de rentabilité aussi nommé point mort. Ce seuil représente le niveau minimal que les avantages du projet doivent atteindre pour que la VAN soit nulle. Cette technique de détermination d’un seuil de rentabilité a déjà été mise en œuvre dans l’analyse coût-avantage de l’exposition temporaire présentée au chapitre 4.

Les formules d’actualisation exposées précédemment permettent de calculer ces bornes dans des situations plus complexes, comme l’illustre l’exercice ci-dessous.

6.9 La prise en compte du coût d’un bien durable

De nombreux projets ont recours à des intrants, qui sont des biens durables, c’est-à-dire des actifs qui peuvent être utilisés durant plusieurs années. Comment faut-il comptabiliser les coûts de ces biens durables dans une ACA ? Il existe plusieurs façons de prendre en compte le coût d’un bien durable, ce qui, par conséquent, engendre le risque d’enregistrer plusieurs fois le même coût. Pour illustrer ces approches et leur équivalence, prenons l’exemple du projet d’achat d’un nouvel appareil d’imagerie par résonance magnétique (IRM) par un hôpital.

6.9.1 Le coût d’usage annuel

Dans certains types d’analyses comme l’analyse financière ou fiscale, le coût de l’investissement est réparti sur sa durée de vie. Il s’agit alors d’évaluer le coût d’usage annuel de l’actif, soit en quelque sorte la consommation annuelle qui en est faite. Le coût d’usage annuel d’un actif comprend deux composantes :

1. L’amortissement ou la dépréciation économique, c’est-à-dire la perte de valeur de l’équipement au cours d’une année, à cause de l’usure et de l’obsolescence^[6] ;
2. Le coût de renonciation du capital, c’est-à-dire, comme nous l’avons déjà expliqué, le rendement auquel on renonce en maintenant cette immobilisation de capital pendant un an.

Dans notre exemple de l’IRM, supposons que la dépréciation économique se fasse vraiment de manière linéaire pendant 10 ans, avec une perte annuelle d’une valeur de 150 000 $. La valeur résiduelle de l’équipement, soit sa valeur de revente à la fin de chaque année, est calculée dans le Tableau 6.7. Il s’agit de la valeur résiduelle à la période précédente, moins l’amortissement. Avec un taux d’actualisation social de 5 %, le Tableau 6.7 présente le coût de renonciation annuel. Pour chaque année, il s’agit de la valeur résiduelle à la fin de la période précédente, multipliée par le taux de 5 %. Cela représente le rendement auquel on renonce en maintenant l’appareil en activité durant l’année plutôt que de le revendre. Par exemple, l’IRM pourrait être revendu 1,2 million de dollars à la fin de la deuxième année, et ce montant pourrait être réaffectées à un autre projet. Le coût de renonciation du maintient de l’IRM en service au cours de la troisième année est donc de 60 000 $. La somme de l’amortissement et du coût d’opportunité représente le coût d’usage annuel du bien durable.

6.9.2 Le loyer implicite

Par ailleurs, l’hôpital pourrait louer l’IRM en payant un loyer annuel fixe ou encore en le finançant par un emprunt avec un remboursement constant. En utilisant le taux d’actualisation social, le loyer ou le remboursement annuel se détermine en annualisant le coût, soit :

[latex]\text{Loyer} = \text{Remboursement} = \text{A} = \frac{1,5m}{a_{5\%}^{10}} = 194 \ 256\$ \text{ par an}[/latex]

Il est donc possible de comptabiliser le coût de l’IRM sous la forme d’un montant annuel fixe correspondant à un loyer implicite.

6.9.3 La prise en compte de l’investissement lorsqu’il se réalise

Dans l’ACA, l’approche consiste généralement à comptabiliser le montant total de l’investissement lorsqu’il s’effectue. Dans notre exemple, il s’agit d’inclure le montant de 1,5 million de dollars à t = 0. Comme nous l’avons constaté précédemment, l’actualisation des avantages et autres impacts permettent de tenir compte du coût de renonciation.

Comme l’illustre le Tableau 6.8, ces trois approches sont équivalentes, dans la mesure où la VAN est identique. Le corollaire de ces équivalences est qu’il serait incorrect de comptabiliser à la fois l’investissement au moment où il se réaliser et d’y ajouter l’amortissement, le coût d’opportunité, les intérêts payés ou encore le loyer. Cela reviendrait à comptabiliser plusieurs fois le même coût.